1. Datos del problema:
Sistema donde se relaciona el producto de un seno y un coseno con la suma de sus argumentos.

2. Fórmulas y propiedades:
Identidad de producto a suma:
$$ \sin x \cos y = \frac{1}{2} [\sin(x+y) + \sin(x-y)] $$

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos la identidad y el valor $x+y = b$ en la primera ecuación:
$$ \frac{1}{2} [\sin b + \sin(x-y)] = a $$
$$ \sin b + \sin(x-y) = 2a $$
$$ \sin(x-y) = 2a - \sin b $$

Determinamos la diferencia de los ángulos:
$$ x - y = n\pi + (-1)^n \arcsin(2a - \sin b) $$

Combinamos con la ecuación de la suma $x + y = b$ mediante suma y resta de ecuaciones:
$$ (x+y) + (x-y) = 2x = b + n\pi + (-1)^n \arcsin(2a - \sin b) $$
$$ (x+y) - (x-y) = 2y = b - n\pi - (-1)^n \arcsin(2a - \sin b) $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{ \begin{aligned} x &= \frac{b + n\pi + (-1)^n \arcsin(2a - \sin b)}{2} \\ y &= \frac{b - n\pi - (-1)^n \arcsin(2a - \sin b)}{2} \end{aligned} $$