1. Datos del problema:
Se presenta un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($x, y$) donde intervienen funciones circulares y una relación lineal.

2. Fórmulas y propiedades:
Para resolver este sistema, utilizaremos la identidad de transformación de suma a producto:
$$ \sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $$

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos el valor de la segunda ecuación $x + y = b$ en la identidad de transformación:
$$ 2 \sin\left(\frac{b}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = a $$

Despejamos el término que contiene las incógnitas:
$$ \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{a}{2 \sin(b/2)} $$

Sea $\alpha$ el valor tal que $\cos \alpha = \frac{a}{2 \sin(b/2)}$. Entonces:
$$ \frac{x-y}{2} = 2k\pi \pm \arccos\left(\frac{a}{2 \sin(b/2)}\right) $$
$$ x - y = 4k\pi \pm 2\arccos\left(\frac{a}{2 \sin(b/2)}\right) $$

Ahora tenemos un sistema lineal simple con $x+y=b$ y $x-y=d$ (donde $d$ es el resultado anterior):
Sumando ambas ecuaciones:
$$ 2x = b + 4k\pi \pm 2\arccos\left(\frac{a}{2 \sin(b/2)}\right) \implies x = \frac{b}{2} + 2k\pi \pm \arccos\left(\frac{a}{2 \sin(b/2)}\right) $$
Restando ambas ecuaciones:
$$ 2y = b - (4k\pi \pm 2\arccos\dots) \implies y = \frac{b}{2} - 2k\pi \mp \arccos\left(\frac{a}{2 \sin(b/2)}\right) $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{ \begin{aligned} x &= 2k\pi + \frac{b}{2} \pm \arccos\left(\frac{a}{2 \sin(b/2)}\right) \\ y &= -2k\pi + \frac{b}{2} \mp \arccos\left(\frac{a}{2 \sin(b/2)}\right) \end{aligned} $$