1. Simplificación de las primeras dos ecuaciones:
Sumamos la primera y la segunda ecuación:
$$ (\sin^2 x + \cos^2 x) + (\sin^2 y + \cos^2 y) + (\sin^2 z - \cos^2 z) = 1 + 1 $$
$$ 1 + 1 + (\sin^2 z - \cos^2 z) = 2 \implies \sin^2 z - \cos^2 z = 0 $$
Esto implica que $\tan^2 z = 1$, por lo tanto $z = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$.

2. Determinación de $x$ e $y$:
Si $\tan^2 z = 1$, sustituimos en la tercera ecuación:
$$ \tan^2 x - \tan^2 y + 1 = 1 \implies \tan^2 x = \tan^2 y $$
Esto implica que $\sin^2 x = \sin^2 y$ y $\cos^2 x = \cos^2 y$.
Sustituimos esto en la primera ecuación original, sabiendo que $\sin^2 z = \frac{1}{2}$ (ya que $\tan^2 z = 1$):
$$ \sin^2 x + \sin^2 x + \frac{1}{2} = 1 \implies 2 \sin^2 x = \frac{1}{2} \implies \sin^2 x = \frac{1}{4} $$
De aquí, $\sin x = \pm \frac{1}{2}$ y $\sin y = \pm \frac{1}{2}$.

3. Conclusión:
Los valores absolutos de los ángulos son:
$|x| = \frac{\pi}{6}$, $|y| = \frac{\pi}{6}$, $|z| = \frac{\pi}{4}$.

Resultado final:
$$ \boxed{x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi, y = \pm \frac{\pi}{6} + n\pi, z = \pm \frac{\pi}{4} + m\pi} $$