1. Análisis inicial:
De la primera ecuación, $z = \pi - (x + y)$. Aplicando la propiedad del seno:
$$ \sin z = \sin(\pi - (x + y)) = \sin(x + y) $$

2. Sustitución y desarrollo:
Sustituimos en la tercera ecuación:
$$ \sqrt{3} \sin y = \sin(x + y) \implies \sqrt{3} \sin y = \sin x \cos y + \cos x \sin y $$
De la segunda ecuación, sabemos que $\sin x = 2 \sin y$. Sustituimos esto:
$$ \sqrt{3} \sin y = (2 \sin y) \cos y + \cos x \sin y $$
Dividimos entre $\sin y$ (asumiendo $\sin y \neq 0$):
$$ \sqrt{3} = 2 \cos y + \cos x $$
Simultáneamente, de $\sin x = 2 \sin y$, elevamos al cuadrado: $\sin^2 x = 4 \sin^2 y$.
Usando $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:
$$ \cos x = \sqrt{3} - 2 \cos y \implies \cos^2 x = 3 - 4\sqrt{3} \cos y + 4 \cos^2 y $$
Relacionando con senos:
$$ 1 - \sin^2 x = 3 - 4\sqrt{3} \cos y + 4 \cos^2 y \implies 1 - 4(1 - \cos^2 y) = 3 - 4\sqrt{3} \cos y + 4 \cos^2 y $$
Simplificando:
$$ 1 - 4 + 4 \cos^2 y = 3 - 4\sqrt{3} \cos y + 4 \cos^2 y \implies -3 = 3 - 4\sqrt{3} \cos y $$
$$ 4\sqrt{3} \cos y = 6 \implies \cos y = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
Por lo tanto, $y = \frac{\pi}{6}$.

3. Hallando $x$ y $z$:
$\sin y = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \implies \sin x = 2(\frac{1}{2}) = 1 \implies x = \frac{\pi}{2}$.
Finalmente, $z = \pi - (\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{3}$.

4. Resultado:
$$ \boxed{x = \frac{\pi}{2}, y = \frac{\pi}{6}, z = \frac{\pi}{3}} $$