1. Datos: Propiedad para $x+y+z=\pi$: $\tan x + \tan y + \tan z = \tan x \tan y \tan z$.

2. Desarrollo:
Dividimos las dos ecuaciones dadas:
$$ \frac{\tan x \tan z}{\tan y \tan z} = \frac{3}{6} \implies \frac{\tan x}{\tan y} = \frac{1}{2} \implies \tan y = 2\tan x $$
De la segunda ecuación: $\tan z = \frac{3}{\tan x}$.
Sustituimos en la propiedad de la suma:
$$ \tan x + 2\tan x + \frac{3}{\tan x} = \tan x (2\tan x) \left(\frac{3}{\tan x}\right) $$
$$ 3\tan x + \frac{3}{\tan x} = 6\tan x $$
$$ \frac{3}{\tan x} = 3\tan x \implies \tan^2 x = 1 $$
Como son ángulos de un triángulo, $\tan x = 1 \implies x = \pi/4$ (45°).
Entonces:
$\tan y = 2(1) = 2 \implies y = \arctan(2) \approx 63.43^\circ$
$\tan z = 3/1 = 3 \implies z = \arctan(3) \approx 71.57^\circ$

3. Resultado:
$$ \boxed{x = \frac{\pi}{4}, \quad y = \arctan 2, \quad z = \arctan 3} $$