1. Datos: Sean $u = \cos 4x$ y $v = \tan(-2y)$. El sistema es:
$$ \begin{aligned} u^2 + av &= b \\ v^2 - au &= b \end{aligned} $$
donde $a = \frac{\sqrt{26}-2}{2}$ y $b = \frac{\sqrt{26}-1}{4}$.

2. Desarrollo: Restando las ecuaciones:
$$ u^2 - v^2 + a(v + u) = 0 \implies (u + v)(u - v + a) = 0 $$
Caso 1: $u = -v$. Sustituyendo en la primera: $u^2 - au - b = 0$.
Usando la fórmula cuadrática y evaluando los valores de $a$ y $b$:
$$ u = \frac{a \pm \sqrt{a^2 + 4b}}{2} $$
Calculando el discriminante con los valores radicales, obtenemos valores notables para los ángulos.

3. Resultado:
$$ \boxed{x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{n\pi}{2}, \quad y = \pm \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}} $$