1. Datos del problema:
Sistema de ecuaciones con diferencias de senos y sumas de cosenos.

2. Fórmulas usadas:

• $\sin x - \sin y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$


• $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$

3. Desarrollo paso a paso:
Transformamos ambas ecuaciones:
1) $2 \cos\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2} = \frac{1}{2}$
2) $2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Dividimos la ecuación (1) entre la (2):
$$ \frac{2 \cos\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}}{2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} $$
$$ \tan\frac{x-y}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \frac{x-y}{2} = \frac{\pi}{6} + k\pi $$
$$ x - y = \frac{\pi}{3} + 2k\pi $$

Sustituimos $\sin\frac{x-y}{2} = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ en (1):
$$ 2 \cos\frac{x+y}{2} \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \implies \cos\frac{x+y}{2} = \frac{1}{2} $$
$$ \frac{x+y}{2} = \pm \frac{\pi}{3} + 2n\pi \implies x + y = \pm \frac{2\pi}{3} + 4n\pi $$

Resolviendo el sistema para $x$ e $y$ con los valores positivos:
$x = \frac{1}{2} [ (x+y) + (x-y) ] = \frac{\pi}{2}$
$y = \frac{1}{2} [ (x+y) - (x-y) ] = \frac{\pi}{6}$

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = \frac{\pi}{2} + (2n+k)\pi, \quad y = \frac{\pi}{6} + (2n-k)\pi} $$