1. Datos del problema:
Se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, $x$ e $y$, donde una es lineal y la otra involucra razones trigonométricas.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Identidad de la suma a producto: $\sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ (no necesaria si usamos sustitución).


• Despeje y sustitución.


• Identidad del seno de la diferencia: $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$.

3. Desarrollo paso a paso:
De la primera ecuación, despejamos $y$:
$$ y = \frac{2\pi}{3} - x $$

Sustituimos en la segunda ecuación:
$$ \frac{\sin x}{\sin\left(\frac{2\pi}{3} - x\right)} = 2 $$
$$ \sin x = 2 \sin\left(\frac{2\pi}{3} - x\right) $$

Aplicamos la identidad del seno de la resta:
$$ \sin x = 2 \left( \sin \frac{2\pi}{3} \cos x - \cos \frac{2\pi}{3} \sin x \right) $$
Sabemos que $\sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ y $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$:
$$ \sin x = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \left(-\frac{1}{2}\right) \sin x \right) $$
$$ \sin x = \sqrt{3} \cos x + \sin x $$
$$ 0 = \sqrt{3} \cos x $$
Esto implica que $\cos x = 0$. Por lo tanto:
$$ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Si tomamos el valor principal $x = \frac{\pi}{2}$:
$$ y = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi - 3\pi}{6} = \frac{\pi}{6} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = \frac{\pi}{2}, \quad y = \frac{\pi}{6}} $$