1. Desarrollo de la segunda ecuación:
Usamos la identidad $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$:
$$ \sin(x + x - y) + \sin(x - (x - y)) = \sin y \implies \sin(2x-y) + \sin y = \sin y $$
Simplificando:
$$ \sin(2x - y) = 0 \implies 2x - y = k\pi $$
Para $k=0$, obtenemos $y = 2x$.

2. Sustitución en la primera ecuación:
Si $y = 2x$, entonces $3y = 6x$. La ecuación queda:
$$ 4 \tan 6x = 3 \tan 2x $$
Usamos la fórmula de ángulo triple para $\tan 6x$ en términos de $\theta = 2x$:
$\tan 3\theta = \frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3\tan^2 \theta}$.
$$ 4 \left( \frac{3\tan 2x - \tan^3 2x}{1 - 3\tan^2 2x} \right) = 3 \tan 2x $$
Si $\tan 2x \neq 0$:
$$ 4(3 - \tan^2 2x) = 3(1 - 3\tan^2 2x) \implies 12 - 4\tan^2 2x = 3 - 9\tan^2 2x $$
$$ 5\tan^2 2x = -9 \quad (\text{Sin solución real}) $$
Si $\tan 2x = 0$, entonces $2x = 0 \implies x = 0, y = 0$.

3. Resultado:
$$ \boxed{x = 0, \quad y = 0} $$