1. Propiedades usadas:

• Producto de senos: $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$


• Ángulo doble: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$

2. Desarrollo:
En la segunda ecuación:
$$ \cos(x+y-y) - \cos(x+y+y) = \cos x \implies \cos x - \cos(x+2y) = \cos x $$
Esto simplifica a:
$$ \cos(x+2y) = 0 \implies x + 2y = \frac{\pi}{2} + k\pi $$
Para la solución principal $x + 2y = \frac{\pi}{2}$, tenemos $2y = \frac{\pi}{2} - x$.
Entonces $\sin 2y = \sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$.

Sustituimos en la primera ecuación:
$$ \frac{\cos x}{\sin x} + \cos x = 2 \sin x \cos x $$
Factorizamos $\cos x$ (si $\cos x \neq 0$):
$$ \frac{1}{\sin x} + 1 = 2 \sin x \implies 1 + \sin x = 2 \sin^2 x $$
Reordenando: $2 \sin^2 x - \sin x - 1 = 0 \implies (2 \sin x + 1)(\sin x - 1) = 0$.

• $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2}$ (pero $\cot x$ no existe).


• $\sin x = -1/2 \implies x = \frac{7\pi}{6}$ o $x = \frac{11\pi}{6}$.

Calculando $y$ para $x = \frac{11\pi}{6}$ en $2y = \frac{\pi}{2} - x$:
$2y = \frac{3\pi}{6} - \frac{11\pi}{6} = -\frac{8\pi}{6} \implies y = -\frac{2\pi}{3}$.

3. Resultado:
$$ \boxed{x = \frac{11\pi}{6}, \quad y = \frac{\pi}{3} \text{ (considerando periodicidad)}} $$