1. Análisis de datos y propiedades:
El sistema involucra funciones de $x$ y de la suma $(x+y)$. Utilizaremos la definición de cotangente $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ y métodos de sustitución.

2. Desarrollo paso a paso:
De la primera ecuación, agrupamos los términos que contienen $\cos(x+y)$:
$$ \sin(x+y) = \cos(x+y) [3 - \sin x] $$
Dividiendo entre $\cos(x+y)$ (asumiendo $\cos(x+y) \neq 0$):
$$ \tan(x+y) = 3 - \sin x \quad \dots \text{(Ec. 1)} $$

De la segunda ecuación original:
$$ 4 \sin x = \frac{5}{\tan(x+y)} \implies \tan(x+y) = \frac{5}{4 \sin x} \quad \dots \text{(Ec. 2)} $$

Igualamos (Ec. 1) y (Ec. 2):
$$ 3 - \sin x = \frac{5}{4 \sin x} $$
Multiplicamos por $4 \sin x$:
$$ 12 \sin x - 4 \sin^2 x = 5 \implies 4 \sin^2 x - 12 \sin x + 5 = 0 $$
Resolvemos la ecuación cuadrática para $\sin x$ usando la fórmula general:
$$ \sin x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4(4)(5)}}{2(4)} = \frac{12 \pm \sqrt{64}}{8} = \frac{12 \pm 8}{8} $$
Las raíces son $\sin x_1 = \frac{20}{8} = 2.5$ (imposible, fuera del rango $[-1, 1]$) y $\sin x_2 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Si $\sin x = \frac{1}{2}$, entonces $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + k\pi$.
Sustituimos $\sin x = \frac{1}{2}$ en (Ec. 1):
$$ \tan(x+y) = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \implies x+y = \arctan\left(\frac{5}{2}\right) + n\pi $$
Finalmente, $y = \arctan\left(\frac{5}{2}\right) - x + n\pi$.

3. Resultado:
$$ \boxed{x = \frac{\pi}{6}, \quad y = \arctan(2.5) - \frac{\pi}{6}} $$
(Considerando soluciones principales).