1. Eliminación de las funciones para hallar una variable:
Elevamos ambas ecuaciones al cuadrado para utilizar la identidad $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$:
$$ \begin{aligned} 2 \sin^2 x &= \sin^2 y \\ 2 \cos^2 x &= 3 \cos^2 y \end{aligned} $$
Sumamos ambas ecuaciones resultantes:
$$ 2(\sin^2 x + \cos^2 x) = \sin^2 y + 3 \cos^2 y $$
$$ 2(1) = (1 - \cos^2 y) + 3 \cos^2 y $$
$$ 2 = 1 + 2 \cos^2 y \implies 2 \cos^2 y = 1 \implies \cos^2 y = \frac{1}{2} $$
Por lo tanto, $\cos y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.

2. Determinación de x:
Sustituimos $\cos^2 y = \frac{1}{2}$ en $2 \cos^2 x = 3 \cos^2 y$:
$$ 2 \cos^2 x = 3 \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2} \implies \cos^2 x = \frac{3}{4} \implies \cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} $$
De la misma forma, $\sin^2 x = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \implies \sin x = \pm \frac{1}{2}$.

3. Verificación de signos:
De la primera ecuación original: $\sin y$ tiene el mismo signo que $\sin x$.
De la segunda ecuación: $\cos y$ tiene el mismo signo que $\cos x$ (ya que $\sqrt{2}$ y $\sqrt{3}$ son positivos).
Si $x = \frac{\pi}{6}$, entonces $\sin x = 1/2$ y $\cos x = \sqrt{3}/2$, lo que implica $\sin y = \sqrt{2}/2$ y $\cos y = \sqrt{2}/2 \implies y = \frac{\pi}{4}$.

$$ \boxed{ x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi, y = \pm \frac{\pi}{4} + k\pi } $$