1. Datos y sustitución:
De la primera ecuación despejamos $x$: $x = y + \frac{5\pi}{3}$.
Notemos que $\frac{5\pi}{3}$ es equivalente a $-\frac{\pi}{3}$ en el círculo unitario.

2. Desarrollo de la segunda ecuación:
Sustituimos $x$ en $\sin x = 2 \sin y$:
$$ \sin\left(y + \frac{5\pi}{3}\right) = 2 \sin y $$
Usamos la identidad $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$:
$$ \sin y \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) + \cos y \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = 2 \sin y $$
Sabemos que $\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ y $\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:
$$ \frac{1}{2} \sin y - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos y = 2 \sin y $$
Multiplicamos por 2 y agrupamos términos de $\sin y$:
$$ \sin y - \sqrt{3} \cos y = 4 \sin y \implies -3 \sin y = \sqrt{3} \cos y $$
Dividimos entre $\cos y$:
$$ \tan y = -\frac{\sqrt{3}}{3} \implies y = -\frac{\pi}{6} + k\pi $$

3. Hallar x:
Si $y = -\frac{\pi}{6}$, entonces $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{10\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$.

$$ \boxed{ x = \frac{3\pi}{2} + k\pi, y = -\frac{\pi}{6} + k\pi } $$