1. Datos y fórmulas útiles:

• Suma de senos: $\sin A + \sin B = 2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$
• Identidad del coseno del ángulo doble: $2\cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$
• Dado $x+y = \frac{\pi}{6}$, entonces $2x+2y = \frac{\pi}{3}$.

2. Transformación de la segunda ecuación:
Aplicamos la fórmula de suma de senos al término $(\sin 2x + \sin 2y)$:
$$ \sin 2x + \sin 2y = 2 \sin(x + y) \cos(x - y) $$
Sustituyendo el valor de $x+y = \frac{\pi}{6}$:
$$ \sin 2x + \sin 2y = 2 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \cos(x - y) = 2 \left(\frac{1}{2}\right) \cos(x - y) = \cos(x - y) $$
El lado izquierdo de la ecuación original queda como: $5 \cos(x - y)$.

Para el lado derecho, usamos $2\cos^2(x-y) = 1 + \cos(2(x-y))$:
$$ 2(1 + \cos^2(x-y)) = 2 + 2\cos^2(x-y) = 2 + 1 + \cos(2(x-y)) = 3 + \cos(2(x-y)) $$

3. Resolución de la ecuación resultante:
Igualamos ambos lados:
$$ 5 \cos(x - y) = 3 + \cos(2(x - y)) $$
Sea $u = x - y$. Usamos la identidad $\cos 2u = 2\cos^2 u - 1$:
$$ 5 \cos u = 3 + 2\cos^2 u - 1 \implies 2\cos^2 u - 5\cos u + 2 = 0 $$
Factorizamos la ecuación cuadrática:
$$ (2\cos u - 1)(\cos u - 2) = 0 $$
Como $|\cos u| \leq 1$, la solución $\cos u = 2$ es imposible. Por lo tanto:
$$ \cos(x - y) = \frac{1}{2} \implies x - y = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi $$

4. Cálculo de las variables:
Tenemos un nuevo sistema lineal:
$$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{6} \\ x - y = \pm \frac{\pi}{3} \end{cases} $$
Caso 1 ($x-y = \frac{\pi}{3}$): Sumando las ecuaciones $2x = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4}$. Luego $y = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{12}$.
Caso 2 ($x-y = -\frac{\pi}{3}$): Sumando las ecuaciones $2x = -\frac{\pi}{6} \implies x = -\frac{\pi}{12}$. Luego $y = \frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{4}$.

$$ \boxed{ (x, y) = \left( \frac{\pi}{4} + k\pi, -\frac{\pi}{12} + k\pi \right) ; \left( -\frac{\pi}{12} + k\pi, \frac{\pi}{4} + k\pi \right) } $$