1. Datos del problema:
Se conoce la suma de los ángulos y la razón de sus tangentes.

2. Fórmulas y propiedades:
Identidad de la suma de tangentes o transformación de razón de tangentes:
$$ \frac{\tan x}{\tan y} = \frac{\sin x \cos y}{\cos x \sin y} $$

3. Desarrollo paso a paso:
De la segunda ecuación: $4 \tan x = 3 \tan y$.
Expresamos $y$ en términos de $x$: $y = \frac{\pi}{4} - x$.
Sustituimos en la ecuación de tangentes:
$$ 4 \tan x = 3 \tan \left( \frac{\pi}{4} - x \right) $$
Usamos la fórmula de la tangente de la resta: $\tan(\frac{\pi}{4} - x) = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$.
Sea $u = \tan x$:
$$ 4u = 3 \left( \frac{1 - u}{1 + u} \right) $$
$$ 4u(1 + u) = 3 - 3u \implies 4u^2 + 4u = 3 - 3u $$
$$ 4u^2 + 7u - 3 = 0 $$
Resolvemos la ecuación cuadrática mediante la fórmula general:
$$ u = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 4(4)(-3)}}{2(4)} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 48}}{8} = \frac{-7 \pm \sqrt{97}}{8} $$
Por lo tanto:
$$ \tan x = \frac{-7 \pm \sqrt{97}}{8} $$

4. Resultado:
$$ \boxed{x = \arctan\left(\frac{-7 \pm \sqrt{97}}{8}\right), \quad y = \frac{\pi}{4} - x} $$