1. Datos del problema:
Relación de proporcionalidad entre senos y tangentes de dos ángulos.

2. Fórmulas y propiedades:
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

3. Desarrollo paso a paso:
Dividimos la segunda ecuación por la primera:
$$ \frac{\tan x}{\sin x} = \frac{5 \tan y}{3 \sin y} $$
$$ \frac{1}{\cos x} = \frac{5}{3 \cos y} \implies 3 \cos y = 5 \cos x \implies \cos y = \frac{5}{3} \cos x $$

Usamos la identidad $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ en la primera ecuación original ($\sin^2 x = 9 \sin^2 y$):
$$ 1 - \cos^2 x = 9(1 - \cos^2 y) $$
Sustituimos $\cos y$:
$$ 1 - \cos^2 x = 9 \left( 1 - \frac{25}{9} \cos^2 x \right) $$
$$ 1 - \cos^2 x = 9 - 25 \cos^2 x $$
$$ 24 \cos^2 x = 8 \implies \cos^2 x = \frac{1}{3} \implies \cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} $$
Calculamos $\cos y$:
$$ \cos y = \frac{5}{3} \left( \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \pm \frac{5}{3\sqrt{3}} $$
(Nota: Debe verificarse que $|\cos y| \leq 1$. Como $\frac{5}{3\sqrt{3}} \approx \frac{5}{5.19} < 1$, la solución es válida).

4. Resultado:
$$ \boxed{x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + 2k\pi, \quad y = \pm \arccos\left(\frac{5\sqrt{3}}{9}\right) + 2n\pi} $$