1. Datos del problema:
Sistema que relaciona el producto de senos y el producto de tangentes.

2. Fórmulas y propiedades:
Identidad de la tangente: $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.

3. Desarrollo paso a paso:
De la segunda ecuación:
$$ \frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y} = \frac{1}{3} $$
Sustituimos el valor de $\sin x \sin y$ de la primera ecuación:
$$ \frac{\frac{1}{4\sqrt{2}}}{\cos x \cos y} = \frac{1}{3} \implies \cos x \cos y = \frac{3}{4\sqrt{2}} $$

Ahora usamos las identidades de producto a suma:
$$ \cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y = \frac{3}{4\sqrt{2}} + \frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $$
$$ \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y = \frac{3}{4\sqrt{2}} - \frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{2}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} $$

Determinamos los ángulos (considerando valores principales):
1) $x - y = \pm \frac{\pi}{4}$
2) $x + y = \pm \arccos(\frac{1}{2\sqrt{2}})$

Sumando y restando estas ecuaciones obtenemos los valores para $x$ y $y$.

4. Resultado:
$$ \boxed{x+y = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi, \quad x-y = \pm \frac{\pi}{4} + 2n\pi} $$