1. Transformación de funciones:
Expresamos todo en términos de senos y cosenos:
1) \( \sin x \frac{\cos y}{\sin y} = \frac{\sqrt{6}}{2} \)
2) \( \frac{\sin x}{\cos x} \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

2. Desarrollo:
De (2), despejamos \( \sin x \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \). Sustituimos en (1):
$$ \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x}{\sin y} = \frac{\sqrt{6}}{2} \implies \frac{\cos x}{\sin y} = \sqrt{2} \implies \cos x = \sqrt{2} \sin y $$

Sustituimos \( \cos x \) en la ecuación (2) modificada:
$$ \frac{\sin x}{\sqrt{2} \sin y} \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \frac{\sin x}{\tan y} = \frac{\sqrt{6}}{2} $$
Multiplicando las ecuaciones originales:
$$ (\sin x \cot y) (\tan x \cos y) = \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$
$$ \sin x \frac{\cos y}{\sin y} \frac{\sin x}{\cos x} \cos y = \frac{3\sqrt{2}}{4} $$
$$ \frac{\sin^2 x \cos^2 y}{\sin y \cos x} = \frac{3\sqrt{2}}{4} $$

Dividiendo las ecuaciones originales:
$$ \frac{\sin x \cot y}{\tan x \cos y} = \frac{\sqrt{6}/2}{\sqrt{3}/2} = \sqrt{2} $$
$$ \frac{\sin x (\cos y / \sin y)}{(\sin x / \cos x) \cos y} = \sqrt{2} \implies \frac{\cos x}{\sin y} = \sqrt{2} $$

Esto confirma nuestra relación anterior. Al resolver el sistema para valores específicos:
$$ \boxed{x = \pm \frac{\pi}{3} + k\pi, \quad y = \pm \frac{\pi}{4} + n\pi} $$