1. Fórmulas:
Usaremos la identidad de la suma de tangentes:
$$ \tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} $$

2. Desarrollo:
De la segunda ecuación, sabemos que \( x + y = \pi/3 \), por lo tanto:
$$ \tan(x + y) = \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} $$
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula de la suma:
$$ \sqrt{3} = \frac{1}{1 - \tan x \tan y} $$
Despejamos el producto:
$$ 1 - \tan x \tan y = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \tan x \tan y = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} $$

Ahora tenemos:

• Suma (\( S \)): \( \tan x + \tan y = 1 \)


• Producto (\( P \)): \( \tan x \tan y = \frac{3 - \sqrt{3}}{3} \)

Estos son raíces de la ecuación cuadrática \( t^2 - St + P = 0 \):
$$ t^2 - t + \frac{3 - \sqrt{3}}{3} = 0 $$
Usando la fórmula general:
$$ t = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4\left(\frac{3 - \sqrt{3}}{3}\right)}}{2} $$
El discriminante es negativo, lo que sugiere que no hay soluciones reales simples bajo este planteamiento o se requiere un ajuste en el dominio. Sin embargo, resolviendo numéricamente para \( \tan x \) y \( \tan y \).

3. Resultado:
Debido a la naturaleza del sistema, las soluciones dependen de los valores de \( t \) obtenidos.
$$ \boxed{\text{No hay soluciones reales para } \tan x, \tan y \text{ en este sistema.}} $$