1. Identidades útiles:
Recordamos que \( \tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \frac{\tan \frac{\pi}{4} - \tan x}{1 + \tan \frac{\pi}{4} \tan x} = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} \).

2. Desarrollo:
Sustituimos en la primera ecuación:
$$ \tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \tan y $$
Esto implica que:
$$ \frac{\pi}{4} - x = y + k\pi \implies x + y = \frac{\pi}{4} - k\pi $$

Ahora tenemos un sistema lineal simple con la segunda ecuación original:
1) \( x + y = \frac{\pi}{4} \)
2) \( x - y = \frac{\pi}{6} \)

Sumando (1) y (2):
$$ 2x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi + 2\pi}{12} = \frac{5\pi}{12} \implies x = \frac{5\pi}{24} $$
Restando (1) y (2):
$$ 2y = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - 2\pi}{12} = \frac{\pi}{12} \implies y = \frac{\pi}{24} $$

3. Resultado:
Generalizando para \( k \):
$$ \boxed{x = \frac{5\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}, \quad y = \frac{\pi}{24} - \frac{k\pi}{2}} $$