1. Datos y fórmulas:
Contamos con un sistema donde una ecuación es no lineal (trigonométrica) y la otra es lineal. Utilizaremos la identidad de producto a suma:
$$ \sin(y + x) + \sin(y - x) = 2 \cos x \sin y $$

2. Desarrollo paso a paso:
De la primera ecuación, multiplicamos por 2:
$$ 2 \cos x \sin y = \sqrt{2} $$
Aplicando la identidad de transformación:
$$ \sin(y + x) + \sin(y - x) = \sqrt{2} $$

Sustituimos el valor de \( x + y = \frac{3\pi}{4} \) de la segunda ecuación:
$$ \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) + \sin(y - x) = \sqrt{2} $$
Sabemos que \( \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \):
$$ \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin(y - x) = \sqrt{2} $$
$$ \sin(y - x) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Esto implica que:
$$ y - x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{o} \quad y - x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi $$

Caso 1: \( y - x = \frac{\pi}{4} \) (para la solución principal \( k=0 \))
Sumando con \( x + y = \frac{3\pi}{4} \):
$$ 2y = \pi \implies y = \frac{\pi}{2} $$
$$ x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} $$

Caso 2: \( y - x = \frac{3\pi}{4} \)
Sumando con \( x + y = \frac{3\pi}{4} \):
$$ 2y = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \implies y = \frac{3\pi}{4} $$
$$ x = \frac{3\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = 0 $$

3. Resultado:
Considerando la periodicidad general:
$$ \boxed{x = \frac{\pi}{4} - k\pi, \quad y = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \lor \quad x = -k\pi, \quad y = \frac{3\pi}{4} + k\pi} $$