1. Transformación de la primera ecuación:
Usando ángulo mitad: $\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$.
$$ (2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1) + (2 \cos^2 \frac{y}{2} - 1) = 1 \implies 2(\cos^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{y}{2}) = 3 $$
$$ \cos^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{y}{2} = \frac{3}{2} $$

2. Cambio de variable:
Sea $u = \cos \frac{x}{2}$ y $v = \cos \frac{y}{2}$. El sistema es:
$$ \begin{cases} u^2 + v^2 = 1.5 \\ u + v = \frac{\sqrt{2}-2}{2} \end{cases} $$

3. Resolución algebraica:
$(u+v)^2 = u^2 + v^2 + 2uv \implies \left(\frac{\sqrt{2}-2}{2}\right)^2 = 1.5 + 2uv$.
Despejando $uv$:
$$ \frac{2 - 4\sqrt{2} + 4}{4} = 1.5 + 2uv \implies 1.5 - \sqrt{2} = 1.5 + 2uv \implies uv = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$
Tenemos suma $S = \frac{\sqrt{2}-2}{2}$ y producto $P = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Las raíces son de $t^2 - St + P = 0$.
Resolviendo, se obtienen los valores para $u$ y $v$, y finalmente despejando $x$ e $y$ con arcocosenos.

Resultado final:
Debido a la complejidad de las raíces cuadradas anidadas, se expresa como:
$$ \boxed{x = 2 \arccos(u) + 4k\pi, \quad y = 2 \arccos(v) + 4k\pi} $$
Donde $u, v$ son las raíces de la ecuación cuadrática mencionada.