1. Propiedades utilizadas:
Usaremos la identidad: $\cos^2 A - \sin^2 B = \cos(A+B)\cos(A-B)$.

2. Transformación de la segunda ecuación:
Sustituyendo $A = \pi x$ y $B = \pi y$:
$$ \cos(\pi x + \pi y) \cos(\pi x - \pi y) = \frac{1}{2} $$
Factorizando $\pi$:
$$ \cos(\pi(x+y)) \cos(\pi(x-y)) = \frac{1}{2} $$

3. Sustitución de la primera ecuación:
Sabemos que $x - y = \frac{1}{3}$, por lo tanto $\pi(x-y) = \frac{\pi}{3}$. Sustituimos:
$$ \begin{aligned} \cos(\pi(x+y)) \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) &= \frac{1}{2} \\ \cos(\pi(x+y)) \cdot \frac{1}{2} &= \frac{1}{2} \\ \cos(\pi(x+y)) &= 1 \end{aligned} $$

4. Resolución del ángulo:
Para que el coseno sea 1:
$$ \pi(x+y) = 2k\pi \implies x + y = 2k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

5. Sistema lineal resultante:
$$ \begin{cases} x + y = 2k \\ x - y = \frac{1}{3} \end{cases} $$
Sumando ambas ecuaciones: $2x = 2k + \frac{1}{3} \implies x = k + \frac{1}{6}$.
Restando ambas ecuaciones: $2y = 2k - \frac{1}{3} \implies y = k - \frac{1}{6}$.

Resultado final:
$$ \boxed{x = k + \frac{1}{6}, \quad y = k - \frac{1}{6}; \quad k \in \mathbb{Z}} $$