1. Identificación de fórmulas:
Utilizaremos las fórmulas de transformación de suma a producto:
$$ \begin{aligned} \sin A + \sin B &= 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \\ \cos A + \cos B &= 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \end{aligned} $$

2. Transformación del sistema:
Aplicando las fórmulas al sistema original:
$$ \begin{cases} 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = 0 \quad \text{--- (Ec. 1)} \\ 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = 0 \quad \text{--- (Ec. 2)} \end{cases} $$

3. Análisis de las ecuaciones:
Para que ambas ecuaciones se cumplan simultáneamente, observamos el factor común $\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$.

Caso A: Si $\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = 0$
$$ \frac{x-y}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x - y = \pi + 2k\pi $$
En este caso, ambas ecuaciones se anulan independientemente de los valores de $\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)$ y $\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)$.

Caso B: Si $\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) \neq 0$
Entonces debemos cumplir que:
$$ \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) = 0 \quad \text{y} \quad \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) = 0 $$
Sin embargo, esto es imposible ya que no existe un ángulo cuyo seno y coseno sean cero simultáneamente ($\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$).

4. Resultado:
La solución general es:
$$ \boxed{x - y = (2k + 1)\pi, \quad k \in \mathbb{Z}} $$
O bien: $y = x - \pi - 2k\pi$.