1. Datos del problema:
Sean $u = \sin x$ y $v = \frac{1}{\cos y}$. El sistema es:
1) $u + v = 2$
2) $u \cdot v = 0.5$

2. Desarrollo paso a paso:
Estas son las ecuaciones de una ecuación cuadrática de la forma $z^2 - (u+v)z + uv = 0$:
$$ z^2 - 2z + 0.5 = 0 $$
Usando la fórmula general:
$$ z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(0.5)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Caso 1: $u = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 1.707$
Como $\sin x$ no puede ser mayor a 1, este caso no tiene solución real.

Caso 2: $u = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$
$$ \sin x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = \arcsin\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) $$
Para $v = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$:
$$ \frac{1}{\cos y} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2+\sqrt{2}}{2} \implies \cos y = \frac{2}{2+\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2} $$
Como $2 - \sqrt{2} \approx 0.586 < 1$, existen soluciones para $y$.

3. Resultado final:
$$ \boxed{ \begin{aligned} x &= (-1)^n \arcsin(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) + n\pi \\ y &= \pm \arccos(2 - \sqrt{2}) + 2k\pi \end{aligned} $$