1. Datos del problema:
Se presentan dos ecuaciones donde el seno de una combinación lineal de ángulos es igual a cero.

2. Propiedades usadas:
La función seno es igual a cero en los múltiplos de $\pi$:
$$ \sin(\theta) = 0 \implies \theta = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} $$

3. Desarrollo paso a paso:
De la primera ecuación:
$$ x + y = n\pi \quad \text{(Ecuación 1)} $$
De la segunda ecuación:
$$ x - y = k\pi \quad \text{(Ecuación 2)} $$
Donde $n, k$ son números enteros.

Para hallar $x$, sumamos (1) y (2):
$$ (x + y) + (x - y) = n\pi + k\pi \implies 2x = (n + k)\pi \implies x = \frac{(n + k)\pi}{2} $$
Para hallar $y$, restamos (2) de (1):
$$ (x + y) - (x - y) = n\pi - k\pi \implies 2y = (n - k)\pi \implies y = \frac{(n - k)\pi}{2} $$

Considerando que la suma y resta de dos enteros resulta en otro entero de la misma paridad, las soluciones generales se expresan convenientemente como múltiplos de $\pi/2$.

4. Resultado final:
$$ \boxed{ \begin{aligned} x &= \frac{m\pi}{2} \\ y &= \frac{p\pi}{2} \end{aligned} $$
Donde $m$ y $p$ son enteros tales que $m+p$ y $m-p$ mantienen la consistencia del sistema original.