Solución: Antes de elegir el lado a trabajar es conveniente hacer un cambio de variable, por la repetitividad de los términos.
Sea:
$$ a-b = A \quad (1) $$
$$ a-c = B \quad (2) $$
$$ b-c = C \quad (3) $$

La identidad a demostrar se transforma en:
$$ \sin A + \sin B + \sin C = 4\cos\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2} $$

Note sin embargo que estas variables no son independientes. Si restamos (3) de (2):
$$ (2) - (3) \Rightarrow (a-c) - (b-c) = B - C $$
$$ a - c - b + c = B - C $$
$$ a - b = B - C \quad (4) $$

Comparando (1) y (4), obtenemos la condición que liga a las variables:
$$ A = B - C \quad \text{o lo que es igual, } C = B - A $$

Ahora elegimos el lado izquierdo (LHS) de la identidad transformada para trabajar:
$$ \text{LHS} = (\sin A + \sin B) + \sin C $$
Aplicamos la transformación de suma a producto a los primeros dos términos:
$$ = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) + \sin C $$

Usamos la identidad del ángulo doble $\sin C = 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}$ y sustituimos la condición $C = B - A$:
$$ = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{B-A}{2}\right)\cos\left(\frac{B-A}{2}\right) $$

Recordamos las propiedades $\sin(-x) = -\sin(x)$ y $\cos(-x) = \cos(x)$.
$\sin\left(\frac{B-A}{2}\right) = \sin\left(-\frac{A-B}{2}\right) = -\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$
$\cos\left(\frac{B-A}{2}\right) = \cos\left(-\frac{A-B}{2}\right) = \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$

Sustituimos estas propiedades en la ecuación:
$$ = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) + 2\left(-\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $$
$$ = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) - 2\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $$

Factorizamos el término común $2\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$:
$$ = 2\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) - \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) \right] $$

Ahora aplicamos la transformación de resta a producto $\sin(x) - \sin(y) = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)$ al término entre corchetes, donde $x = \frac{A+B}{2}$ y $y = \frac{A-B}{2}$:
$\frac{x+y}{2} = \frac{\frac{A+B}{2} + \frac{A-B}{2}}{2} = \frac{\frac{2A}{2}}{2} = \frac{A}{2}$
$\frac{x-y}{2} = \frac{\frac{A+B}{2} - \frac{A-B}{2}}{2} = \frac{\frac{2B}{2}}{2} = \frac{B}{2}$

Sustituimos esto en la expresión:
$$ = 2\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \left[ 2\cos\left(\frac{A}{2}\right)\sin\left(\frac{B}{2}\right) \right] $$
$$ = 4\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)\cos\left(\frac{A}{2}\right)\sin\left(\frac{B}{2}\right) $$

Finalmente, usamos la condición $A = B - C$, que implica $A - B = -C$.
$$ = 4\cos\left(\frac{-C}{2}\right)\cos\left(\frac{A}{2}\right)\sin\left(\frac{B}{2}\right) $$
Usando $\cos(-x) = \cos(x)$ y reordenando los términos:
$$ = 4\cos\left(\frac{C}{2}\right)\cos\left(\frac{A}{2}\right)\sin\left(\frac{B}{2}\right) = 4\cos\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2} $$
Esto es igual al lado derecho (RHS).

Al revertir la sustitución ($A=a-b, B=a-c, C=b-c$), se demuestra la identidad original.