1. Reducción y Simplificación:
Primero, aplicamos propiedades de reducción al primer cuadrante y ángulos complementarios:
$$ \begin{array}{ll} \text{Propiedad 1:} & \cos(\pi - x) = -\cos x \\ \text{Propiedad 2:} & \sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2}\right) = \cos\left(\frac{x}{2}\right) \end{array} $$
Sustituyendo en la ecuación original:
$$ 1 - (-\cos x) + \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0 \implies 1 + \cos x + \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0 $$

2. Uso del Ángulo Mitad:
Utilizamos la identidad $\cos x = 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1$:
$$ 1 + \left( 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1 \right) + \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0 $$
$$ 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0 $$
Factorizamos el término común $\cos\left(\frac{x}{2}\right)$:
$$ \cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) + 1 \right] = 0 $$

3. Determinación de raíces:
Resolvemos para cada factor:
$$ \begin{array}{lll} \text{Factor 1:} & \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0 & \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = (2k+1)\pi \\ \text{Factor 2:} & \cos\left(\frac{x}{2}\right) = -\frac{1}{2} & \implies \frac{x}{2} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \implies x = \pm \frac{4\pi}{3} + 4k\pi \end{array} $$

4. Resumen de soluciones en la circunferencia:
$$ \begin{array}{|c|c|l|} \hline \cos(x/2) & \text{Ángulo } x/2 & \text{Solución en } x \\ \hline 0 & \pi/2, 3\pi/2 & \pi, 3\pi, 5\pi, \dots \\ \hline -1/2 & 2\pi/3, 4\pi/3 & 4\pi/3, 8\pi/3, \dots \\ \hline \end{array} $$

Resultado final:
$$ \boxed{x = (2k+1)\pi \quad \text{o} \quad x = 4k\pi \pm \frac{4\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}} $$