1. Fórmulas utilizadas:
Usamos la tangente de la suma de ángulos:
$$ \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} $$

2. Desarrollo detallado:
Sustituimos $A = \frac{\pi}{4}$ y $B = x$, sabiendo que $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$:
$$ \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} + \tan x - 2 = 0 $$
Para simplificar, multiplicamos toda la ecuación por $(1 - \tan x)$, con la condición $\tan x \neq 1$:
$$ (1 + \tan x) + \tan x(1 - \tan x) - 2(1 - \tan x) = 0 $$
Expandimos los términos:
$$ 1 + \tan x + \tan x - \tan^2 x - 2 + 2\tan x = 0 $$
Agrupamos términos semejantes y ordenamos como una ecuación cuadrática:
$$ -\tan^2 x + 4\tan x - 1 = 0 \implies \tan^2 x - 4\tan x + 1 = 0 $$

3. Resolución de la cuadrática:
Aplicamos la fórmula general para $t = \tan x$:
$$ \tan x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} $$
Simplificando la raíz $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$:
$$ \tan x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} $$

4. Análisis pedagógico de valores notables:
Es interesante notar que estos valores corresponden a ángulos notables:
$$ \begin{array}{l} \tan(75^\circ) = \tan\left(\frac{5\pi}{12}\right) = 2 + \sqrt{3} \\ \tan(15^\circ) = \tan\left(\frac{\pi}{12}\right) = 2 - \sqrt{3} \end{array} $$

Resultado final:
$$ \boxed{x = n\pi + \arctan(2 \pm \sqrt{3}), \quad n \in \mathbb{Z}} $$