1. Datos e Identidades:
Para resolver la ecuación, utilizaremos las siguientes identidades fundamentales:
$$ \begin{array}{ll} \text{Ángulo doble:} & \sin(2x) = 2\sin x \cos x \\ \text{Identidad pitagórica:} & \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \end{array} $$

2. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos la identidad del ángulo doble en la ecuación original:
$$ 3\cos^2 x - \sin^2 x - 2\sin x \cos x = 0 $$
Reordenamos los términos para intentar completar un trinomio cuadrado perfecto:
$$ 3\cos^2 x = \sin^2 x + 2\sin x \cos x $$
Sumamos $\cos^2 x$ en ambos miembros de la igualdad:
$$ 3\cos^2 x + \cos^2 x = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x $$
$$ 4\cos^2 x = (\sin x + \cos x)^2 $$
Igualamos a cero para aplicar diferencia de cuadrados $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$:
$$ (2\cos x)^2 - (\sin x + \cos x)^2 = 0 $$
$$ (2\cos x + \sin x + \cos x)(2\cos x - (\sin x + \cos x)) = 0 $$
$$ (3\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x) = 0 $$

3. Análisis de casos:
Para que el producto sea cero, uno de los factores debe serlo:

$$ \begin{array}{l} \text{Caso 1: } 3\cos x + \sin x = 0 \implies \sin x = -3\cos x \implies \tan x = -3 \\ \text{Caso 2: } \cos x - \sin x = 0 \implies \sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \end{array} $$

4. Representación visual de las soluciones:
Utilizamos la circunferencia goniométrica para ubicar las soluciones de $\tan x$:
$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Ecuación} & \text{Cuadrantes} & \text{Solución General} \\ \hline \tan x = 1 & \text{I y III} & x = \frac{\pi}{4} + n\pi \\ \hline \tan x = -3 & \text{II y IV} & x = n\pi - \arctan(3) \\ \hline \end{array} $$

Resultado final:
$$ \boxed{x = \frac{\pi}{4} + n\pi \quad \text{o} \quad x = n\pi - \arctan(3), \quad n \in \mathbb{Z}} $$