1. Estrategia:
Analizaremos el término fraccionario expandiendo el seno de la suma de tres ángulos para relacionarlo con las funciones tangente individuales.

2. Desarrollo de la expansión:
Usamos la identidad del seno de la suma: $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$.
Consideramos $A = (x+y)$ y $B = z$:
$$ \sin(x + y + z) = \sin(x + y)\cos(z) + \cos(x + y)\sin(z) $$

Expandimos $\sin(x+y)$ y $\cos(x+y)$:
$$ \begin{aligned} \sin(x+y+z) &= (\sin x \cos y + \cos x \sin y)\cos z \\ &+ (\cos x \cos y - \sin x \sin y)\sin z \end{aligned} $$

Distribuyendo los términos:
$$ \begin{aligned} \sin(x+y+z) &= \sin x \cos y \cos z + \cos x \sin y \cos z \\ &+ \cos x \cos y \sin z - \sin x \sin y \sin z \end{aligned} $$

3. División por el denominador común:
Dividimos cada término de la expansión por $\cos x \cos y \cos z$:
$$ \begin{array}{l} \frac{\sin(x+y+z)}{\cos x \cos y \cos z} = \frac{\sin x \cos y \cos z}{\cos x \cos y \cos z} + \frac{\cos x \sin y \cos z}{\cos x \cos y \cos z} \\ + \frac{\cos x \cos y \sin z}{\cos x \cos y \cos z} - \frac{\sin x \sin y \sin z}{\cos x \cos y \cos z} \end{array} $$

Simplificando las fracciones obtenemos:
$$ \frac{\sin(x+y+z)}{\cos x \cos y \cos z} = \tan x + \tan y + \tan z - (\tan x \tan y \tan z) $$

4. Sustitución en la ecuación original:
Sea $L$ el lado izquierdo de la igualdad:
$$ L = \tan x + \tan y + \tan z - \left[ \tan x + \tan y + \tan z - \tan x \tan y \tan z \right] $$

Al distribuir el signo negativo, los términos individuales de la tangente se cancelan:
$$ L = \tan x + \tan y + \tan z - \tan x - \tan y - \tan z + \tan x \tan y \tan z $$

$$ L = \tan x \tan y \tan z $$

5. Resultado final:
Se comprueba que el lado izquierdo es idéntico al lado derecho (RHS):
$$ \boxed{\tan x \tan y \tan z = \tan x \tan y \tan z} $$