1. Datos del problema:
Ecuación de segundo grado en términos de $\sin x$ y $\cos x$.

2. Fórmulas y propiedades:
Para resolver este tipo de ecuaciones, es útil convertir todo a una sola función trigonométrica (generalmente $\tan x$) dividiendo por $\cos^2 x$, pero antes debemos expresar el término constante $a$ en términos trigonométricos:
$$ a = a(\sin^2 x + \cos^2 x) $$

3. Desarrollo paso a paso:
Reescribimos la ecuación:
$$ \sin^2 x - \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = a \sin^2 x + a \cos^2 x $$
Agrupamos términos:
$$ (1 - a) \sin^2 x - \sin x \cos x - (2 + a) \cos^2 x = 0 $$

Dividimos toda la ecuación por $\cos^2 x$ (asumiendo $\cos x \neq 0$):
$$ (1 - a) \tan^2 x - \tan x - (2 + a) = 0 $$

Resolvemos para $\tan x$ usando la ecuación cuadrática:
$$ \tan x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1-a)(-(2+a))}}{2(1-a)} $$
$$ \tan x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4(1-a)(2+a)}}{2(1-a)} $$
$$ \tan x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4(2 + a - 2a - a^2)}}{2(1-a)} $$
$$ \tan x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8 - 4a - 4a^2}}{2(1-a)} = \frac{1 \pm \sqrt{9 - 4a - 4a^2}}{2(1-a)} $$

4. Resultado:
$$ \boxed{x = \arctan\left( \frac{1 \pm \sqrt{9 - 4a - 4a^2}}{2(1-a)} \right) + k\pi} $$