1. Datos del problema:
Ecuación trigonométrica que involucra una suma de cubos y el seno del ángulo doble.

2. Fórmulas y propiedades:

• Suma de cubos: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$
• Identidad fundamental: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
• Ángulo doble: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$

3. Desarrollo paso a paso:
Factorizamos el término de la derecha usando suma de cubos:
$$ \sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) $$
$$ \sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) $$

Sustituimos en la ecuación original:
$$ (\sin x + \cos x) \sin 2x = a (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) $$

Igualamos a cero para factorizar:
$$ (\sin x + \cos x) [ \sin 2x - a(1 - \sin x \cos x) ] = 0 $$

Caso 1:
$\sin x + \cos x = 0 \implies \tan x = -1$
$$ x = k\pi - \frac{\pi}{4} $$

Caso 2:
$\sin 2x - a(1 - \frac{1}{2}\sin 2x) = 0$ (ya que $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$)
$$ \sin 2x - a + \frac{a}{2} \sin 2x = 0 $$
$$ \sin 2x \left(1 + \frac{a}{2}\right) = a \implies \sin 2x \left(\frac{2+a}{2}\right) = a $$
$$ \sin 2x = \frac{2a}{a+2} $$

Para que existan soluciones en este caso, $| \frac{2a}{a+2} | \leq 1$.

4. Resultado:
$$ \boxed{x = k\pi - \frac{\pi}{4} \quad \text{ó} \quad x = \frac{1}{2} \arcsin\left(\frac{2a}{a+2}\right) + k\pi} $$