1. Datos del problema:
Ecuación con funciones arcotangente donde se busca despejar $x$.

2. Fórmulas y propiedades usadas:

• $\arctan \alpha - \arctan \beta = \arctan \left( \frac{\alpha - \beta}{1 + \alpha \beta} \right)$

3. Desarrollo paso a paso:
Aplicamos la propiedad de resta en el lado izquierdo:
$$ \arctan \left( \frac{\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}}{1 + \left( \frac{1}{x - 1} \right) \left( \frac{1}{x + 1} \right)} \right) = \arctan a $$
Simplificamos la expresión racional:
Numerador: $\frac{(x + 1) - (x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{2}{x^2 - 1}$
Denominador: $1 + \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{x^2 - 1 + 1}{x^2 - 1} = \frac{x^2}{x^2 - 1}$
Dividimos:
$$ \frac{\frac{2}{x^2 - 1}}{\frac{x^2}{x^2 - 1}} = \frac{2}{x^2} $$
Entonces:
$$ \arctan \left( \frac{2}{x^2} \right) = \arctan a $$
Igualamos los argumentos:
$$ \frac{2}{x^2} = a \Rightarrow x^2 = \frac{2}{a} $$
Extrayendo la raíz cuadrada:
$$ x = \pm \sqrt{\frac{2}{a}} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = \pm \sqrt{\frac{2}{a}}} $$