1. Datos del problema:
Igualdad de funciones trigonométricas inversas.

2. Fórmulas y propiedades usadas:

• Identidad de resta de arcotangentes: $\arctan \alpha - \arctan \beta = \arctan \left( \frac{\alpha - \beta}{1 + \alpha \beta} \right)$

3. Desarrollo paso a paso:
Sea $\alpha = a$ y $\beta = \frac{a - 1}{a + 1}$. Aplicamos la fórmula en el lado izquierdo:
$$ \arctan \left( \frac{a - \frac{a - 1}{a + 1}}{1 + a \left( \frac{a - 1}{a + 1} \right)} \right) = \arctan x $$
Resolvemos la fracción interna:
Numerador: $\frac{a(a + 1) - (a - 1)}{a + 1} = \frac{a^2 + a - a + 1}{a + 1} = \frac{a^2 + 1}{a + 1}$
Denominador: $\frac{(a + 1) + a(a - 1)}{a + 1} = \frac{a + 1 + a^2 - a}{a + 1} = \frac{a^2 + 1}{a + 1}$
Sustituimos:
$$ \arctan \left( \frac{\frac{a^2 + 1}{a + 1}}{\frac{a^2 + 1}{a + 1}} \right) = \arctan x $$
$$ \arctan(1) = \arctan x $$
Por lo tanto, $x = 1$.

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = 1} $$