1. Datos del problema:
Ecuación cuadrática donde la incógnita es $\tan x$ y los coeficientes dependen del ángulo $a$.

2. Fórmulas y propiedades usadas:

• Fórmula general de la ecuación de segundo grado: $u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$


• Identidad pitagórica: $\cos^2 a + \sin^2 a = 1$

3. Desarrollo paso a paso:
Identificamos los coeficientes de la forma $A u^2 + B u + C = 0$ donde $u = \tan x$:
$A = \sin a$, $B = -2 \cos a$, $C = 1$.
Aplicamos la fórmula cuadrática:
$$ \tan x = \frac{2 \cos a \pm \sqrt{(-2 \cos a)^2 - 4(\sin a)(1)}}{2 \sin a} $$
$$ \tan x = \frac{2 \cos a \pm \sqrt{4 \cos^2 a - 4 \sin a}}{2 \sin a} $$
Simplificamos factorizando el 4 dentro de la raíz:
$$ \tan x = \frac{2 \cos a \pm 2\sqrt{\cos^2 a - \sin a}}{2 \sin a} $$
$$ \tan x = \frac{\cos a \pm \sqrt{\cos^2 a - \sin a}}{\sin a} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\tan x = \frac{\cos a \pm \sqrt{\cos^2 a - \sin a}}{\sin a}} $$