1. Propiedad de tangentes de suma y resta:
Recordamos la identidad: $\tan(a+x)\tan(a-x) = \frac{\tan^2 a - \tan^2 x}{1 - \tan^2 a \tan^2 x}$.

2. Sustitución en la ecuación:
Sea $t = \tan x$ y $m = \tan a$:
$$ t^2 + \frac{m^2 - t^2}{1 - m^2 t^2} = 0 $$
Multiplicamos por el denominador ($1 - m^2 t^2 \neq 0$):
$$ t^2(1 - m^2 t^2) + m^2 - t^2 = 0 $$
$$ t^2 - m^2 t^4 + m^2 - t^2 = 0 $$
$$ m^2 - m^2 t^4 = 0 $$
Factorizamos $m^2$:
$$ m^2(1 - t^4) = 0 $$

3. Análisis de soluciones:

• Si $m = 0 \implies \tan a = 0 \implies a = n\pi$. En este caso, la ecuación se cumple para cualquier $x$ donde $\tan x$ esté definida.


• Si $m \neq 0$, entonces $1 - t^4 = 0 \implies t^4 = 1 \implies t^2 = 1$ (ya que $t^2 \geq 0$).

$$ \tan^2 x = 1 \implies \tan x = \pm 1 $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = \pm \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}} $$