1. Restricciones:
Los denominadores deben ser distintos de cero: $a \cos x + 1 \neq 0$ y $a \sin x + 1 \neq 0$.

2. Desarrollo algebraico:
Multiplicamos en cruz para eliminar las fracciones:
$$ (a + \sin x)(a \sin x + 1) = (a + \cos x)(a \cos x + 1) $$
Expandimos ambos lados:
$$ a^2 \sin x + a + a \sin^2 x + \sin x = a^2 \cos x + a + a \cos^2 x + \cos x $$
Cancelamos el término $a$ y agrupamos términos semejantes en un solo lado:
$$ (a^2 + 1)\sin x - (a^2 + 1)\cos x + a \sin^2 x - a \cos^2 x = 0 $$
Factorizamos:
$$ (a^2 + 1)(\sin x - \cos x) + a(\sin^2 x - \cos^2 x) = 0 $$
Notamos que $\sin^2 x - \cos^2 x = (\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)$:
$$ (\sin x - \cos x) [ (a^2 + 1) + a(\sin x + \cos x) ] = 0 $$

3. Análisis de factores:
Caso 1: $\sin x - \cos x = 0 \implies \tan x = 1$.
$$ x = \frac{\pi}{4} + k\pi $$

Caso 2: $a(\sin x + \cos x) = -(a^2 + 1) \implies \sin x + \cos x = -\frac{a^2 + 1}{a}$.
Usando la identidad $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$:
$$ \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{a^2 + 1}{a} \implies \sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{a^2 + 1}{\sqrt{2}a} $$
Para que este caso tenga solución, $|\frac{a^2 + 1}{\sqrt{2}a}| \leq 1$. Sin embargo, por la desigualdad de medias $a^2 + 1 \geq 2|a|$, y como $2|a| > \sqrt{2}|a|$, el valor absoluto del cociente siempre es mayor que 1. Por lo tanto, este caso no tiene soluciones reales.

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}} $$