1. Datos y análisis previo:
La ecuación involucra potencias de seno y coseno. Para resolverla, es conveniente expresar toda la ecuación en términos de una sola función trigonométrica. Utilizaremos la identidad fundamental $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

2. Transformación de la ecuación:
Sustituimos la identidad en la ecuación original:
$$ \sin^4 x - 2(1 - \sin^2 x) + a^2 = 0 $$
Expandiendo los términos:
$$ \sin^4 x - 2 + 2 \sin^2 x + a^2 = 0 $$
Ordenando como una ecuación de segundo grado para $u = \sin^2 x$:
$$ (\sin^2 x)^2 + 2(\sin^2 x) + (a^2 - 2) = 0 $$

3. Resolución de la ecuación cuadrática:
Aplicamos la fórmula general para $u$:
$$ \begin{aligned} \sin^2 x &= \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(a^2 - 2)}}{2(1)} \\ \sin^2 x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4a^2 + 8}}{2} \\ \sin^2 x &= \frac{-2 \pm \sqrt{12 - 4a^2}}{2} \\ \sin^2 x &= -1 \pm \sqrt{3 - a^2} \end{aligned} $$

4. Análisis de existencia de soluciones:
Dado que $0 \leq \sin^2 x \leq 1$:

• La opción $-1 - \sqrt{3 - a^2}$ siempre es negativa, por lo que se descarta.


• Debe cumplirse: $0 \leq -1 + \sqrt{3 - a^2} \leq 1$.


• De $1 \leq \sqrt{3 - a^2} \implies 1 \leq 3 - a^2 \implies a^2 \leq 2$.


• De $\sqrt{3 - a^2} \leq 2 \implies 3 - a^2 \leq 4 \implies a^2 \geq -1$ (siempre se cumple).


• Además, para que la raíz sea real: $3 - a^2 \geq 0 \implies a^2 \leq 3$.

Por lo tanto, la solución existe si $|a| \leq \sqrt{2}$.

5. Resultado final:
$$ \boxed{x = \pm \arcsin \sqrt{\sqrt{3-a^2} - 1} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}} $$