1. Cambio de variable:
Sea $u = \sin x$. Dado que $-1 \leq \sin x \leq 1$, entonces $u \in [-1, 1]$.
La ecuación se transforma en:
$$ u^2 + 4u + a = 0 \implies a = -u^2 - 4u $$

2. Análisis de la función:
Sea $f(u) = -u^2 - 4u$ en el intervalo $u \in [-1, 1]$.
Para hallar el rango de $a$, evaluamos los extremos y el vértice:

• Vértice: $u_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = -2$. Como $-2 \notin [-1, 1]$, el máximo y mínimo ocurren en los extremos del intervalo.


• Si $u = -1$: $a = -(-1)^2 - 4(-1) = -1 + 4 = 3$.


• Si $u = 1$: $a = -(1)^2 - 4(1) = -1 - 4 = -5$.

3. Gráfica descriptiva:
$$ \begin{array}{c} \text{Rango de } u \\ \hline \begin{array}{|c|c|c|} \hline u = -1 & u = 0 & u = 1 \\ \hline a = 3 & a = 0 & a = -5 \\ \hline \end{array} \end{array} $$

Resultado:
Para que exista al menos una solución en $x$, el parámetro $a$ debe estar en el intervalo:
$$ \boxed{a \in [-5, 3]} $$