1. Análisis de la estructura de la ecuación:
Observamos que la ecuación contiene un término cuadrático en $a$ y una función trigonométrica secante al cuadrado. Podemos completar cuadrados para analizar los valores posibles.
Reescribimos la ecuación:
$$ (a^2 - 2a + 1) - 1 + \frac{1}{\cos^2 \pi (a + x)} = 0 $$
$$ (a - 1)^2 + \left( \frac{1}{\cos^2 \pi (a + x)} - 1 \right) = 0 $$

2. Propiedades aplicadas:
Sabemos que para cualquier ángulo $\theta$, se cumple que:
$$ \frac{1}{\cos^2 \theta} = \sec^2 \theta \geq 1 $$
Por lo tanto:
$$ \frac{1}{\cos^2 \pi (a + x)} - 1 \geq 0 $$
Además, un cuadrado perfecto siempre es no negativo:
$$ (a - 1)^2 \geq 0 $$

3. Condición de existencia de la solución:
Para que la suma de dos cantidades no negativas sea igual a cero, ambas cantidades deben ser simultáneamente cero:
$$ \begin{aligned} (a - 1)^2 &= 0 \implies a = 1 \\ \frac{1}{\cos^2 \pi (a + x)} - 1 &= 0 \implies \cos^2 \pi (a + x) = 1 \end{aligned} $$

4. Resolución para $x$:
Sustituimos $a = 1$ en la segunda condición:
$$ \cos^2 \pi (1 + x) = 1 \implies \cos \pi (1 + x) = \pm 1 $$
La función coseno es $\pm 1$ en múltiplos de $\pi$:
$$ \pi (1 + x) = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$
Dividiendo por $\pi$:
$$ 1 + x = k \implies x = k - 1 $$
Como $k$ es cualquier entero, $k - 1$ también representa cualquier entero $n$.

Resultado:
$$ \boxed{a = 1, \quad x = n \in \mathbb{Z}} $$