1. Datos del problema:
Ecuación con funciones de suma de ángulos y términos fraccionarios. Restricción: $\cos x \neq 0$.

2. Fórmulas y propiedades:

• Coseno de la suma: $\cos(a + x) = \cos a \cos x - \sin a \sin x$


• Identidad de ángulo doble: $2 \sin x \cos x = \sin 2x$

3. Desarrollo paso a paso:
Multiplicamos ambos lados por $\cos x$:
$$ 2 \cos(a + x) \cos x = \cos a $$
Expandimos el coseno de la suma:
$$ 2 (\cos a \cos x - \sin a \sin x) \cos x = \cos a $$
$$ 2 \cos a \cos^2 x - 2 \sin a \sin x \cos x = \cos a $$

Usamos $2 \sin x \cos x = \sin 2x$ y la identidad de reducción de potencia $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$:
$$ 2 \cos a \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) - \sin a \sin 2x = \cos a $$
$$ \cos a + \cos a \cos 2x - \sin a \sin 2x = \cos a $$

Simplificamos $\cos a$ en ambos lados:
$$ \cos a \cos 2x - \sin a \sin 2x = 0 $$
Esto corresponde al desarrollo de un coseno de suma:
$$ \cos(2x + a) = 0 $$

Resolvemos para el argumento:
$$ 2x + a = \frac{\pi}{2} + n\pi $$
$$ 2x = \frac{\pi}{2} - a + n\pi $$

4. Conclusión:
Dividiendo entre 2 obtenemos la solución general:
$$ \boxed{x = \frac{\pi}{4} - \frac{a}{2} + \frac{n\pi}{2}} $$