1. Datos del problema:
Ecuación trigonométrica que involucra el coseno de un ángulo triple.

2. Fórmulas y propiedades:
Identidad del ángulo triple para el coseno:
$$ \cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x $$

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos en la ecuación:
$$ 4 \cos^3 x - 3 \cos x = a \cos x $$
$$ 4 \cos^3 x - (3 + a) \cos x = 0 $$

Factorizamos $\cos x$:
$$ \cos x (4 \cos^2 x - (3 + a)) = 0 $$

Factor 1: $\cos x = 0$
$$ x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Factor 2: $4 \cos^2 x = 3 + a$
$$ \cos^2 x = \frac{3 + a}{4} \implies \cos x = \pm \frac{\sqrt{3 + a}}{2} $$
Para soluciones reales: $-3 \leq a \leq 1$.

4. Conclusión:
Las soluciones generales son:
$$ \boxed{x = \frac{\pi}{2} + n\pi \cup x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3 + a}}{2}\right) + 2k\pi} $$