1. Datos del problema:
Una ecuación donde intervienen funciones con distintos argumentos ($ax$ y $x$).

2. Fórmulas y propiedades:
Análisis de rangos:

• El rango de $\sin^2(ax)$ es $[0, 1]$.


• El rango de $\cos(x)$ es $[-1, 1]$.

3. Desarrollo paso a paso:
Analicemos el valor mínimo del lado izquierdo (LI):
$$ LI = 1 + \sin^2 ax \geq 1 + 0 = 1 $$
Analicemos el valor máximo del lado derecho (LD):
$$ LD = \cos x \leq 1 $$
Para que exista la igualdad, ambos lados deben ser exactamente iguales a 1:
1. $1 + \sin^2 ax = 1 \implies \sin^2 ax = 0 \implies ax = k\pi$
2. $\cos x = 1 \implies x = 2n\pi$

Sustituimos $x = 2n\pi$ en la primera condición:
$$ a(2n\pi) = k\pi \implies 2an = k $$
Para que esto se cumpla para cualquier $n$ entero, $2a$ debe ser un número entero o racional dependiendo de la solución buscada.

Si $x=0$, es solución trivial para cualquier $a$.
Si $x \neq 0$, entonces $a$ debe ser tal que la relación se cumpla.

4. Conclusión:
La solución general es:
$$ \boxed{x = 2n\pi \text{ siempre que } 2an \in \mathbb{Z}} $$