1. Datos del problema:
Igualdad de sumas de seno y coseno con diferentes desfases.

2. Fórmulas y propiedades:

• Transformación de suma a producto:

$\sin A - \sin B = 2\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)$
$\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$

3. Desarrollo paso a paso:
Reorganizamos la ecuación:
$$ \sin(x + a) - \sin(x - a) = \cos(x - a) - \cos(x + a) $$
Aplicamos las fórmulas de suma a producto:
$$ 2\sin\left(\frac{(x+a)-(x-a)}{2}\right)\cos\left(\frac{(x+a)+(x-a)}{2}\right) = -2\sin\left(\frac{(x-a)+(x+a)}{2}\right)\sin\left(\frac{(x-a)-(x+a)}{2}\right) $$
$$ 2\sin(a)\cos(x) = -2\sin(x)\sin(-a) $$
Como $\sin(-a) = -\sin(a)$:
$$ 2\sin a \cos x = 2\sin x \sin a $$
Simplificamos $2\sin a$ (asumiendo $\sin a \neq 0$):
$$ \cos x = \sin x \implies \tan x = 1 $$

4. Conclusión:
El valor de $x$ que satisface la igualdad es:
$$ \boxed{x = n\pi + \frac{\pi}{4}} $$