1. Datos del problema:
Ecuación de la forma $A\cos x + B\sin x = C$, donde $A = a-1$, $B = a+1$ y $C = 2a$.

2. Fórmulas y propiedades:
Para que una ecuación $A\cos x + B\sin x = C$ tenga solución real, se debe cumplir que $A^2 + B^2 \geq C^2$.

3. Desarrollo paso a paso:
Verificamos la condición de existencia de soluciones:
$$ (a - 1)^2 + (a + 1)^2 \geq (2a)^2 $$
$$ (a^2 - 2a + 1) + (a^2 + 2a + 1) \geq 4a^2 $$
$$ 2a^2 + 2 \geq 4a^2 \implies 2a^2 \leq 2 \implies a^2 \leq 1 $$
Esto significa que $|a| \leq 1$.

Utilizamos la sustitución de Weierstrass $t = \tan(x/2)$, donde $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ y $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$:
$$ (a-1)\frac{1-t^2}{1+t^2} + (a+1)\frac{2t}{1+t^2} = 2a $$
Multiplicando por $(1+t^2)$:
$$ (a-1) - (a-1)t^2 + 2(a+1)t = 2a + 2at^2 $$
Reordenando como ecuación de segundo grado en $t$:
$$ (3a - 1)t^2 - 2(a + 1)t + (a + 1) = 0 $$
Aplicando la fórmula general:
$$ t = \frac{2(a+1) \pm \sqrt{4(a+1)^2 - 4(3a-1)(a+1)}}{2(3a-1)} $$
$$ t = \frac{(a+1) \pm \sqrt{(a+1)[(a+1) - (3a-1)]}}{3a-1} = \frac{a+1 \pm \sqrt{(a+1)(2-2a)}}{3a-1} $$
$$ t = \frac{a+1 \pm \sqrt{2(1-a^2)}}{3a-1} $$

4. Conclusión:
Dado que $t = \tan(x/2)$, la solución es:
$$ \boxed{x = 2 \arctan \left( \frac{a + 1 \pm \sqrt{2(1 - a^2)}}{3a - 1} \right) + 2n\pi} $$
Válido para $|a| \leq 1$ y $a \neq 1/3$.