1. Datos del problema:
Una fracción trigonométrica que debe anularse.

2. Fórmulas y propiedades usadas:

• $\frac{A}{B} = 0 \iff A = 0 \text{ y } B \neq 0$


• $\tan \theta = 0 \iff \theta = k\pi$

3. Desarrollo paso a paso:
Para que la fracción sea cero, el numerador debe ser cero:
$$ \tan ax = 0 \implies ax = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{a} $$
Simultáneamente, debemos garantizar que el denominador no sea cero:
$$ \sin bx \neq 0 \implies bx \neq n\pi \implies x \neq \frac{n\pi}{b} $$
Por lo tanto, los valores de $k$ permitidos son aquellos donde $\frac{k}{a}$ no es múltiplo de $\frac{1}{b}$. Esto ocurre si $\frac{kb}{a}$ no es un número entero $n$.

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = \frac{k\pi}{a}} $$
Con la condición: $k \in \mathbb{Z}$ tal que $\frac{kb}{a} \notin \mathbb{Z}$.