1. Datos del problema:
Ecuación con términos de ángulo mitad y ángulo simple.

2. Fórmulas y propiedades usadas:

• $\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$


• $\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos las identidades de ángulo mitad en el miembro izquierdo:
$$ a \left( \frac{1 + \cos x}{2} \right) - (a + 2b) \left( \frac{1 - \cos x}{2} \right) = a \cos x - b \sin x $$
Multiplicamos por 2 para simplificar:
$$ a(1 + \cos x) - (a + 2b)(1 - \cos x) = 2a \cos x - 2b \sin x $$
Expandimos los términos:
$$ a + a \cos x - (a - a \cos x + 2b - 2b \cos x) = 2a \cos x - 2b \sin x $$
$$ a + a \cos x - a + a \cos x - 2b + 2b \cos x = 2a \cos x - 2b \sin x $$
Simplificamos los términos $a$ y agrupamos los términos con $\cos x$:
$$ (2a + 2b) \cos x - 2b = 2a \cos x - 2b \sin x $$
Restamos $2a \cos x$ en ambos lados:
$$ 2b \cos x - 2b = -2b \sin x $$
Si $b \neq 0$, dividimos por $-2b$:
$$ \sin x - \cos x = -1 $$
Elevando al cuadrado o usando el método del ángulo auxiliar ($\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4}) = -1$):
$$ \sin(x - \pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$
Las soluciones para el argumento son $x - \pi/4 = -\pi/4 + 2k\pi$ o $x - \pi/4 = 5\pi/4 + 2k\pi$.

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = 2k\pi \quad \text{o} \quad x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi} $$
Nota: Si $b=0$, la ecuación se reduce a $a \cos x = a \cos x$, lo cual es una identidad para cualquier $x$ (con $a \neq 0$).