1. Datos del problema:
Se presenta una ecuación con potencias de cuarto grado y un término de ángulo doble. El objetivo es hallar los valores de $x$ en función del parámetro $a$.

2. Fórmulas y propiedades usadas:

• Identidad fundamental: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$


• Identidad de potencias: $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x$


• Ángulo doble: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos la expresión de las potencias en la ecuación original:
$$ \left( 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x \right) + \sin 2x + a = 0 $$
Multiplicamos toda la ecuación por $-2$ para eliminar la fracción y ordenar como una ecuación de segundo grado respecto a $u = \sin 2x$:
$$ \sin^2 2x - 2\sin 2x - 2(1 + a) = 0 $$
Aplicamos la fórmula cuadrática para resolver $\sin 2x$:
$$ \sin 2x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2(1 + a))}}{2(1)} $$
$$ \sin 2x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8 + 8a}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12 + 8a}}{2} = 1 \pm \sqrt{3 + 2a} $$
Como el rango de la función seno es $[-1, 1]$, la única solución posible es:
$$ \sin 2x = 1 - \sqrt{3 + 2a} $$
Para que exista solución real, debe cumplirse:
$$ -1 \leq 1 - \sqrt{3 + 2a} \leq 1 \implies 0 \leq \sqrt{3 + 2a} \leq 2 \implies -\frac{3}{2} \leq a \leq \frac{1}{2} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = \frac{1}{2} (-1)^k \arcsin(1 - \sqrt{3 + 2a}) + \frac{k\pi}{2}} $$
Donde $k \in \mathbb{Z}$ y $a \in [-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}]$.