1. Datos del problema:
Suma de senos con argumentos desfasados igualada a una constante que depende de $a$.

2. Fórmulas y propiedades:
Transformación de suma a producto:
$$ \sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $$

3. Desarrollo paso a paso:
Aplicamos la identidad al lado izquierdo con $A = a+x$ y $B = x$:
$$ 2 \sin\left(\frac{a+x+x}{2}\right) \cos\left(\frac{a+x-x}{2}\right) = \cos \frac{a}{2} $$
$$ 2 \sin\left(x + \frac{a}{2}\right) \cos \frac{a}{2} = \cos \frac{a}{2} $$

Factorizamos:
$$ \cos \frac{a}{2} \left[ 2 \sin\left(x + \frac{a}{2}\right) - 1 \right] = 0 $$

Análisis de soluciones:

• Si $\cos \frac{a}{2} = 0$, la ecuación se cumple para cualquier valor de $x$. Esto ocurre si $a = (2k+1)\pi$.
• Si $\cos \frac{a}{2} \neq 0$, entonces:
  $$ 2 \sin\left(x + \frac{a}{2}\right) = 1 \implies \sin\left(x + \frac{a}{2}\right) = \frac{1}{2} $$
  $$ x + \frac{a}{2} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + n\pi $$

Despejando $x$:
$$ x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{6} - \frac{a}{2} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{6} - \frac{a}{2}} $$